카이제곱 분포를 사용하여 모집단의 분산을 검정하는 것은 주어진 표본 데이터를 통해 모집단의 분산이 특정한 값과 같은지 여부를 통계적으로 검정하는 것을 의미합니다. 이 검정 방법은 주로 다음과 같은 절차를 따릅니다. ### 기본 개념 #### 1. 카이제곱 분포 (Chi-Square Distribution) 카이제곱 분포는 연속 확률 분포의 하나로, 주로 분산의 검정에 사용됩니다. 이 분포는 자유도(df)에 따라 모양이 달라지며, 비대칭 분포입니다. 자유도가 커질수록 정규 분포에 가까워집니다. #### 2. 귀무가설(H0)과 대립가설(H1) - **귀무가설(H0):** 모집단의 분산이 특정 값(σ₀²)과 같다. - **대립가설(H1):** 모집단의 분산이 특정 값(σ₀²)과 다르다. ### 카이제곱 검정 통계량 모집단의 분산을 검정하기 위해 카이제곱 검정 통계량(χ²)을 계산합니다. 이 통계량은 다음과 같이 계산됩니다: χ2=(n−1)s2σ02\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}χ2=σ02​(n−1)s2​ 여기서: - nnn은 표본의 크기 - s2s^2s2은 표본 분산 - σ02\sigma_0^2σ02​은 귀무가설에서 주장하는 모집단 분산 ### 카이제곱 검정 절차 1. **데이터 수집:** 모집단에서 표본을 추출하여 데이터를 수집합니다. 2. **가설 설정:** 귀무가설(H0)과 대립가설(H1)을 설정합니다. 3. **검정 통계량 계산:** 주어진 데이터로부터 카이제곱 검정 통계량(χ²)을 계산합니다. 4. **임계치 결정:** 유의수준(α)과 자유도(df = n-1)에 따라 카이제곱 분포표에서 임계치를 찾습니다. 5. **결론 도출:** 계산된 χ² 값과 임계치를 비교하여 귀무가설을 기각할지 여부를 결정합니다. ### 예시 어느 공장에서 생산하는 제품의 분산이 16이라고 주장합니다. 이를 검정하기 위해 10개의 제품을 무작위로 선택하여 표본 데이터를 얻었습니다. 이 표본의 분산이 20이라면, 유의수준 0.05에서 모집단 분산이 16과 같은지 검정해봅시다. #### 1. 귀무가설과 대립가설 설정 - **H0:** 모집단 분산(σ₀²) = 16 - **H1:** 모집단 분산(σ₀²) ≠ 16 #### 2. 검정 통계량 계산 - 표본 크기(n) = 10 - 표본 분산(s²) = 20 - 모집단 분산(σ₀²) = 16 χ2=(10−1)×2016=9×2016=11.25\chi^2 = \frac{(10-1) \times 20}{16} = \frac{9 \times 20}{16} = 11.25χ2=16(10−1)×20​=169×20​=11.25 #### 3. 임계치 결정 - 유의수준(α) = 0.05 - 자유도(df) = 10 - 1 = 9 - 카이제곱 분포표에서 df = 9일 때 α/2 = 0.025의 임계치 값을 찾습니다. - χ0.025,92\chi^2_{0.025, 9}χ0.025,92​ = 2.70 (lower critical value) - χ0.975,92\chi^2_{0.975, 9}χ0.975,92​ = 19.02 (upper critical value) #### 4. 결론 도출 - 계산된 χ² 값(11.25)은 임계치(2.70, 19.02) 사이에 있으므로, 유의수준 0.05에서 귀무가설을 기각하지 못합니다. 따라서 모집단 분산이 16이라는 주장을 기각할 충분한 증거가 없습니다. ### 결론 카이제곱 분포를 사용한 모집단의 분산 검정은 주어진 표본 데이터가 모집단의 분산과 특정 값이 같은지를 평가하는 통계적 방법입니다. 이 방법은 카이제곱 검정 통계량을 계산하고, 이를 카이제곱 분포의 임계치와 비교하여 귀무가설을 기각할지 여부를 결정합니다.